الضوضاء الغاوسية البيضاء AWGN: العدو الأول لكل إشارة اتصالات

سلسلة أساسيات الاتصالات · المقالة 01 · من إعداد فريق موجز التقنية

المحاضرة المرئية للمقالة على قناة موجز التقنية في يوتيوب

كل إشارة ترسلها، من مكالمة الهاتف إلى إشارة الواي فاي، تصل إلى المستقبِل ومعها شيء لم ترسله: الضوضاء. وأشهر نموذج يستخدمه المهندسون لوصفها هو AWGN، أي الضوضاء الغاوسية البيضاء المضافة. هذا النموذج هو نقطة البداية لتصميم أي نظام اتصالات، والمقياس الذي تُقارَن به كل التقنيات.

ماذا يعني كل حرف؟

◂ Additive (مضافة): الضوضاء تُجمع مع الإشارة جمعاً، ولا تُضرب بها. فالإشارة المستقبَلة هي الإشارة المرسلة زائد الضوضاء.

◂ White (بيضاء): قدرتها موزّعة بالتساوي على كل الترددات، مثل الضوء الأبيض الذي يحتوي كل الألوان.

◂ Gaussian (غاوسية): قيمها العشوائية تتبع التوزيع الطبيعي، أي منحنى الجرس.

◂ Noise (ضوضاء): إشارة عشوائية غير مرغوب فيها، لا يمكن توقّع قيمتها في أي لحظة، لكن يمكن وصف سلوكها إحصائياً.

الشكل 1: عيّنات من ضوضاء غاوسية بيضاء (يسار)، وتوزيع قيمها الذي يطابق منحنى غاوس (يمين).

لماذا غاوسية بالذات؟

المصدر الرئيسي للضوضاء في المستقبِلات هو الضوضاء الحرارية: حركة عشوائية لعدد هائل من الإلكترونات داخل المقاومات والدوائر بسبب الحرارة. كل إلكترون يضيف أثراً صغيراً مستقلاً، ومجموع عدد كبير جداً من الآثار الصغيرة المستقلة يتبع التوزيع الغاوسي، وهذا ما تقوله نظرية النهاية المركزية. لذلك النموذج ليس افتراضاً اعتباطياً، بل نتيجة فيزيائية.

الأصل التاريخي

◂ 1809: نشر كارل فريدريش غاوس استخدامه للتوزيع الطبيعي في وصف أخطاء القياسات الفلكية، ومن هنا جاء اسم «التوزيع الغاوسي».

◂ 1928: في مختبرات بِل، قاس جون جونسون الضوضاء الحرارية في المقاومات، وفسّرها هاري نايكويست نظرياً. نُشر البحثان في مجلة Physical Review، ولهذا تُسمّى أيضاً ضوضاء جونسون-نايكويست.

◂ 1948: نشر كلود شانون «النظرية الرياضية للاتصالات»، وحسب فيها أقصى معدل بيانات ممكن عبر قناة محدودة النطاق فيها ضوضاء غاوسية بيضاء. وهذا موضوع مقالة قادمة في السلسلة.

التمثيل الرياضي

الإشارة المستقبَلة في أبسط صورها:

$r(t) = s(t) + n(t)$

حيث s(t) الإشارة المرسلة، و n(t) الضوضاء. كثافة القدرة الطيفية للضوضاء ثابتة على كل الترددات، وهذا معنى «بيضاء»:

$S_n(f) = \dfrac{N_0}{2}$

وفي الأنظمة الرقمية، كل عيّنة من الضوضاء متغيّر غاوسي متوسطه صفر وتباينه N₀/2، ودالة كثافته الاحتمالية:

$p(n) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{-n^2/(2\sigma^2)}, \quad \sigma^2 = \dfrac{N_0}{2}$

رقم يحفظه كل مهندس: عند درجة حرارة الغرفة القياسية (290 كلفن)، كثافة الضوضاء الحرارية تساوي تقريباً −174 dBm لكل هيرتز. فقناة واي فاي بعرض 20 ميغاهيرتز يبدأ فيها مستوى الضوضاء من نحو −101 dBm، قبل إضافة ضوضاء المستقبِل نفسه.

ماذا يحدث من 0 إلى 12 dB؟

المقياس الأهم هنا هو Eb/N0: طاقة البت الواحد مقسومة على كثافة الضوضاء. عند 0 dB تكون طاقة البت مساوية لكثافة الضوضاء، وكل زيادة 10 dB تعني أن طاقة البت تضاعفت عشر مرات بالنسبة للضوضاء.

الشكل 2: رموز QPSK المستقبَلة (النقاط الزرقاء) حول مواقعها الأصلية (النقاط البرتقالية) عند 0 و6 و12 dB. كلما زادت النسبة، تجمّعت النقاط حول مواقعها وسهل التمييز بينها.

في تضمين BPSK، يُرسل البت 1 كقيمة +1 والبت 0 كقيمة −1، ويقرّر المستقبِل حسب إشارة القيمة المستقبَلة. يقع الخطأ عندما تكون الضوضاء كبيرة بما يكفي لتقلب الإشارة، واحتمال ذلك:

$P_b = Q\!\left(\sqrt{2E_b/N_0}\right) = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{erfc}\!\left(\sqrt{E_b/N_0}\right)$

Eb/N0 (dB)	احتمال خطأ البت (BER)	بالتقريب
0	7.87 × 10⁻²	خطأ في كل 13 بت
2	3.75 × 10⁻²	خطأ في كل 27 بت
4	1.25 × 10⁻²	خطأ في كل 80 بت
6	2.39 × 10⁻³	خطأ في كل 419 بت
8	1.91 × 10⁻⁴	خطأ في كل 5,200 بت تقريباً
10	3.87 × 10⁻⁶	خطأ في كل 258,000 بت تقريباً
12	9.01 × 10⁻⁹	خطأ في كل 111 مليون بت تقريباً

احتمال خطأ البت النظري لتضمين BPSK في قناة AWGN

لاحظ: من 0 إلى 6 dB تحسّن الأداء نحو 33 مرة فقط، لكن من 6 إلى 12 dB تحسّن أكثر من 265 ألف مرة. المنحنى ينحدر بسرعة كبيرة عند النسب العالية، ولهذا يكون لكل ديسيبل إضافي قيمة كبيرة في التصميم. والمعيار الشائع لاحتمال خطأ 10⁻⁵ يتحقق عند نحو 9.6 dB.

الشكل 3: منحنى احتمال الخطأ النظري (الخط) مقارنةً بنتائج المحاكاة (النقاط) باستخدام مليون بت.

جرّبها بنفسك: كود MATLAB

الكود الأول يحاكي إرسال مليون بت بتضمين BPSK عبر قناة AWGN، ويقارن معدل الخطأ بالمعادلة النظرية. يعمل على MATLAB الأساسي بدون أي صندوق أدوات (Toolbox):

			
%% BPSK over AWGN: simulated vs theoretical BER
clear; clc; rng(1);
N        = 1e6;                 % number of bits
EbN0_dB  = 0:2:12;              % Eb/N0 range in dB
bits = randi([0 1], 1, N);
s    = 2*bits - 1;              % BPSK mapping: 0 -> -1, 1 -> +1 (Eb = 1)
ber_sim = zeros(size(EbN0_dB));
for k = 1:length(EbN0_dB)
    EbN0  = 10^(EbN0_dB(k)/10);
    sigma = sqrt(1/(2*EbN0));   % noise std: sigma^2 = N0/2
    n     = sigma*randn(1, N);  % white Gaussian noise
    r     = s + n;              % additive channel
    bits_hat   = r > 0;         % threshold detector
    ber_sim(k) = mean(bits_hat ~= bits);
end
ber_theory = 0.5*erfc(sqrt(10.^(EbN0_dB/10)));
figure;
semilogy(EbN0_dB, ber_theory, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
semilogy(EbN0_dB, ber_sim, 'ro', 'MarkerSize', 7);
grid on; xlabel('E_b/N_0 (dB)'); ylabel('BER');
legend('Theory', 'Simulation'); title('BPSK over AWGN');

		

ملاحظة: عند 12 dB لن تظهر نقطة المحاكاة على الرسم، لأن احتمال الخطأ نحو خطأ واحد في كل 111 مليون بت، ومليون بت لا تكفي لرصده. لرؤيتها، زِد قيمة N، وانتبه أن ذلك يحتاج ذاكرة ووقتاً أكبر.

والكود الثاني يرسم رموز QPSK المستقبَلة عند ثلاث نسب مختلفة، كما في الشكل 2:

			
%% Received QPSK constellation at different Es/N0 values
rng(2); M = 2000;
sym = ((2*randi([0 1],1,M)-1) + 1j*(2*randi([0 1],1,M)-1))/sqrt(2);  % Es = 1
snr_dB = [0 6 12];
figure;
for k = 1:3
    N0 = 10^(-snr_dB(k)/10);
    n  = sqrt(N0/2)*(randn(1,M) + 1j*randn(1,M));   % complex AWGN
    r  = sym + n;
    subplot(1,3,k);
    plot(real(r), imag(r), '.'); hold on;
    plot(real(sym), imag(sym), 'o', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
    axis equal; axis([-2.5 2.5 -2.5 2.5]); grid on;
    title(sprintf('E_s/N_0 = %d dB', snr_dB(k)));
end

		

أين نستخدمها اليوم؟

◂ مقياس مرجعي: أي تضمين أو ترميز جديد يُختبر أولاً في قناة AWGN، لتكون المقارنة بين التقنيات عادلة.

◂ حساب ميزانية الوصلة (Link Budget): في الأقمار الصناعية والشبكات الخلوية والواي فاي، يبدأ الحساب من مستوى الضوضاء الحرارية.

◂ تصميم المستقبِلات: المستقبِل الأمثل لقناة AWGN، مثل المرشّح المطابق (Matched Filter)، هو الأساس الذي تُبنى عليه المستقبِلات الأعقد.

حدود النموذج

AWGN نموذج مثالي، والقنوات الحقيقية أصعب منه. في الاتصالات اللاسلكية تتعرّض الإشارة للخفوت (Fading) بسبب تعدد المسارات. وفي قنوات أخرى، مثل الاتصال عبر خطوط القدرة الكهربائية، تظهر ضوضاء نبضية على شكل قفزات قوية ومفاجئة لا يصفها التوزيع الغاوسي. ومع ذلك، يبقى AWGN نقطة البداية لفهم أي قناة أعقد.

المقالة القادمة في السلسلة: نسبة الإشارة إلى الضوضاء SNR و Eb/N0: ما الفرق بينهما، ومتى نستخدم كلاً منهما؟

المراجع

J. B. Johnson, “Thermal Agitation of Electricity in Conductors,” Physical Review, vol. 32, pp. 97–109, 1928.
H. Nyquist, “Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors,” Physical Review, vol. 32, pp. 110–113, 1928.
C. E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication,” Bell System Technical Journal, vol. 27, 1948.
J. G. Proakis and M. Salehi, Digital Communications, 5th ed., McGraw-Hill, 2008.
B. Sklar, Digital Communications: Fundamentals and Applications, 2nd ed., Prentice Hall, 2001.